针对非合同制员工在工作期间受伤的情况，根据《工伤保险条例》，即使未签订劳动合同，员工仍然可以享受工伤保险待遇。单位应当在伤害发生后的30日内为员工申请工伤认定，如果单位没有这样做，员工或其亲属可以在1年内直接向劳动部门提出工伤认定申请。请注意，未及时申请可能会影响工伤认定和相应的赔偿。
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对于未签劳动合同的员工在工作中受伤，他们可以申请工伤认定并进行劳动能力鉴定。在处理此类问题时，保障自身权益是首要考虑，建议员工及时咨询专业律师，根据自身的实际情况选择最合适的处理方式。
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对于劳动局管辖范围内的非合同制员工，如果在工作期间受伤，应依法进行工伤认定。员工应确保及时接受医疗治疗，并在治疗稳定后向劳动部门申请工伤认定及劳动能力鉴定，以确定相应的赔偿问题。如果雇主不配合相关流程，员工可以寻求法律援助。